a sin ⁡ α = b sin ⁡ β . {\displaystyle {\frac {a}{\sin \alpha }}={\frac {b}{\sin \beta }}.}

Đặt

d = a sin ⁡ α = b sin ⁡ β , {\displaystyle d={\frac {a}{\sin \alpha }}={\frac {b}{\sin \beta }},}

ta có

a = d sin ⁡ α  và  b = d sin ⁡ β . {\displaystyle a=d\sin \alpha {\text{ và }}b=d\sin \beta .\,}

Do đó

a − b a + b = d sin ⁡ α − d sin ⁡ β d sin ⁡ α + d sin ⁡ β = sin ⁡ α − sin ⁡ β sin ⁡ α + sin ⁡ β . {\displaystyle {\frac {a-b}{a+b}}={\frac {d\sin \alpha -d\sin \beta }{d\sin \alpha +d\sin \beta }}={\frac {\sin \alpha -\sin \beta }{\sin \alpha +\sin \beta }}.}

Dùng công thức lượng giác

sin ⁡ ( α ) ± sin ⁡ ( β ) = 2 sin ⁡ ( α ± β 2 ) cos ⁡ ( α ∓ β 2 ) , {\displaystyle \sin(\alpha )\pm \sin(\beta )=2\sin \left({\frac {\alpha \pm \beta }{2}}\right)\cos \left({\frac {\alpha \mp \beta }{2}}\right),\;}

ta có

a − b a + b = 2 sin ⁡ 1 2 ( α − β ) cos ⁡ 1 2 ( α + β ) 2 sin ⁡ 1 2 ( α + β ) cos ⁡ 1 2 ( α − β ) = tan ⁡ [ 1 2 ( α − β ) ] tan ⁡ [ 1 2 ( α + β ) ] . ◼ {\displaystyle {\frac {a-b}{a+b}}={\frac {2\sin {\tfrac {1}{2}}\left(\alpha -\beta \right)\cos {\tfrac {1}{2}}\left(\alpha +\beta \right)}{2\sin {\tfrac {1}{2}}\left(\alpha +\beta \right)\cos {\tfrac {1}{2}}\left(\alpha -\beta \right)}}={\frac {\tan[{\frac {1}{2}}(\alpha -\beta )]}{\tan[{\frac {1}{2}}(\alpha +\beta )]}}.\qquad \blacksquare }

Hoặc có thể chứng minh theo cách khác bằng công thức sau

tan ⁡ ( α ± β 2 ) = sin ⁡ α ± sin ⁡ β cos ⁡ α + cos ⁡ β {\displaystyle \tan \left({\frac {\alpha \pm \beta }{2}}\right)={\frac {\sin \alpha \pm \sin \beta }{\cos \alpha +\cos \beta }}}

(xem công thức tang góc chia đôi).